DESCRIPTIF DU MODULE « PROBABILITES »
Julien Guyon
Adresse web du site du module
Une page web contenant du matériel pédagogique ainsi que les informations relatives au cours sera maintenue sur le site:
http://cermics.enpc.fr/~guyon
PRÉREQUIS
Aucun. Néanmoins, les élèves sont supposés avoir déjà vu quelques notions de probabilités en classes préparatoires (probabilités et variables aléatoires discrètes).
EQUIPE ENSEIGNANTE
Hervé Andrès (Milliman), Dimitri Daucher (IFSTTAR), Jean-François Delmas (ENPC), Anne Dutfoy (EDF), Julien Guyon (ENPC), Paul Invernizzi (ENPC), Benjamin Jourdain (ENPC), Alain Toubol (EPF Lorraine).
OBJECTIFS DU MODULE
L'objectif du cours est de donner les connaissances essentielles en probabilités pour un ingénieur. On présentera les notions fondamentales (espace de probabilité, variable aléatoire, loi, espérance,...) ainsi que les lois usuelles à valeurs réelles et entières. On insistera sur les outils pour caractériser et calculer des lois. On présentera les différentes notions de convergence pour bien comprendre les énoncés des deux théorèmes fondamentaux que sont la loi forte des grands nombres et le théorème de la limite centrale. Enfin, on abordera un aspect plus numérique et pratique en donnant les principaux algorithmes pour simuler des variables aléatoires et en présentant la méthode de Monte-Carlo.
PROGRAMME DU MODULE
• Rappels succincts du programme de classes préparatoires. Variables aléatoires réelles à densité : définition, espérance, variance, fonction de répartition, densités usuelles, caractérisation de la loi par fonction muette et exemples. Devoir maison facultatif : lemme de Borel-Cantelli ; calcul des probabilités du tirage au sort de la Coupe du monde de football 1990.
• Manipulation d'intégrales multiples (Fubini et changement de variables). Vecteurs aléatoires à densité : définition, densités marginales, indépendance, caractérisation de la loi par fonction muette et exemples d'utilisation de la formule de changement de variables.
• Vecteurs aléatoires : fonction caractéristique, calcul pour les lois usuelles ; covariance et formule Var(u.X)=u.Ku. Vecteurs gaussiens : définition, stabilité par transformation affine, existence, indépendance et covariance, fonction caractéristique, densité des vecteurs gaussiens non-dégénérés, exemple en dimension 2 (dépendance entre variables aléatoires). Devoir maison facultatif.
• Présentation des différents modes de convergence (en moyenne, en probabilité, presque sûre, en loi), hiérarchie entre ces convergences, caractérisation de la convergence en loi par la fonction caractéristique et théorème de Slutsky.
• Loi faible des grands nombres, loi forte des grands nombres (preuve sous hypothèse de moments d'ordre 4). Théorème de la limite centrale, exercices. Théorème de la limite centrale multidimensionnel. Devoir maison obligatoire : Méthode de Monte-Carlo, exemples et réduction de variance.
• Générateur aléatoire. Méthode d'inversion de la fonction de répartition. Simulation des variables aléatoires usuelles et des vecteurs gaussiens. Méthode de Box-Muller. TP : illustration sur ordinateur de la loi d'un vecteur gaussien en dimension 2, de la loi forte des grands nombres et du théorème de la limite centrale.
MODALITÉS PEDAGOGIQUES
- Méthodes pédagogiques : 6 séances de cours. Chaque enseignant est responsable de son groupe et alterne durant les séances de trois heures cours et exercices.
Une séance en classe inversée en semaine 4 : les élèves doivent lire et travailler en amont les sections 1 et 3 du Chapitre 5 du poly [1].
Une séance de travail en autonomie est prévue. Elle permettra de faire en priorité du soutien aux élèves (questions/réponses sur le cours et les exercices faits en cours) et éventuellement des exercices complémentaires.
- Travaux personnels : 2 devoirs maison facultatifs seront distribués à la fin des séances 1 et 3 et un devoir maison obligatoire sera distribué à la fin de la séance 5. Les devoirs maison sont à rendre au début de la séance suivante.
CONTRÔLE DES CONNAISSANCES ET RÈGLES DE VALIDATION
- Critères d’évaluation : Un examen final d'une durée de trois heures noté sur 20.
Une note de petite classe (entre 0 et 3) prenant en compte la participation en cours et les rendus de devoirs maison.
Les élèves doivent rendre le devoir maison obligatoire distribué à la fin de la séance 5 pour valider le module.
Pour les élèves ayant plus de 10 à l'examen, la note du module sera la note finale de l'examen. Pour ceux qui ont moins de 10 à l'examen, la note finale sera obtenue en additionnant les deux notes, sans toutefois dépasser 10.
- Conditions spécifiques de validation : Tout élève ayant deux absences injustifiées ou plus se verra refuser la possibilité de passer l’examen de rattrapage.
Documents pédagogiques
- Ressources documentaires : [1] Benjamin Jourdain, Probabilités et statistique, Ellipses, 2009 disponible sur la page web http://cermics.enpc.fr/~jourdain/probastat/poly.pdf.
- Adresse web du site du module : Une page web contenant du matériel pédagogique ainsi que les informations relatives au cours sera maintenue sur le site http://cermics.enpc.fr/~guyon.